【题目】某种水箱用的“浮球”是由两个相同半球和一个圆柱筒组成,它的轴截面如图所示,已知半球的直径是,圆柱筒高,为增强该“浮球”的牢固性,给“浮球”内置一“双蝶形”防压卡,防压卡由金属材料杆,,,,,及焊接而成,其中,分别是圆柱上下底面的圆心,,,,均在“浮球”的内壁上,AC,BD通过“浮球”中心,且、均与圆柱的底面垂直.
(1)设与圆柱底面所成的角为,试用表示出防压卡中四边形的面积,并写出的取值范围;
(2)研究表明,四边形的面积越大,“浮球”防压性越强,求四边形面积取最大值时,点到圆柱上底面的距离.
【答案】(1),其中的取值范围是(2)四边形面积取最大值时,点到圆柱上底面的距离为.
【解析】
(1)先证明,又因为,则四边形是梯形,用与圆柱底面所成的角来表示梯形的上底、下底和高,根据梯形面积公式即可求得四边形面积;
(2)由(1)得四边形面积的解析式,对函数求导,判断单调性,求出极值点,由此得出点到圆柱上底面的距离.
解:(1)因为分别是圆柱上、下底面的圆心,所以与圆柱的底面垂直;
因为与圆柱的底面垂直,所以;
在梯形中, , ,
设梯形的高;
所以梯形的面积为
其中的取值范围是;
(2)由(1)得,
,
令,解得 或(不合题意,舍去);
又,所以 ;
列表如下;
所以当时, 取得极大值,即是最大值,此时;
所以四边形面积取最大值时,点到圆柱上底面的距离为.
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【题目】阅读如图判断闰年的流程图,判断公元1900年、公元2000年、公元2018年、公元2020年这四年中闰年的个数为(nMODm为n除以m的余数)( )
A.1个B.2个
C.3个D.4个
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【题目】如图,已知双曲线的左、右焦点分别为、,过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点,若的内切圆半径为,则双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
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【题目】已知函数.
(1)求函数的图象在点处的切线方程;
(2)若在上有解,求的取值范围;
(3)设是函数的导函数,是函数的导函数,若函数的零点为,则点恰好就是该函数的对称中心.试求的值.
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【题目】中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”,请问此人第5天走的路程为( )
A. 36里 B. 24里 C. 18里 D. 12里
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【题目】已知数列中,,对任意的,,有.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列满足(,),
①求数列的前项和;
②设是正整数,若存在正数,对任意的正整数,当时,都有,求m的最大值.
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【题目】某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动,有人参加,现将所有参加者按年龄情况分为,,,,,,等七组,其频率分布直方图如图所示,已知这组的参加者是6人.
(1)根据此频率分布直方图求;
(2)已知,这两组各有2名数学教师,现从这两个组中各选取2人担任接待工作,设两组的选择互不影响,求两组选出的人中恰有1名数学老师的概率.
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