Question

20．证明：1+$\frac{1}{2\sqrt{2}}$+$\frac{1}{3\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{n\sqrt{n}}$＜3（n∈N^*）

Answer 1

分析 证明$\frac{1}{\sqrt{{k}^{3}}}$=$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}•k}}$＜$\frac{1}{\sqrt{（{k}^{2}-\frac{1}{4}）•k}}$=$\frac{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k+1}}{\sqrt{k}}$•（$\frac{1}{\sqrt{2k-1}}$-$\frac{1}{\sqrt{2k+1}}$）＜2$\sqrt{2}$•（$\frac{1}{\sqrt{2k-1}}$-$\frac{1}{\sqrt{2k+1}}$），再叠加，即可证明结论．

解答 证明：∵$（\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k+1}）^{2}$=4k+2$\sqrt{4{k}^{2}-1}$＜4k+4k=8k．
∴$\frac{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k+1}}{\sqrt{k}}$＜2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{\sqrt{{k}^{3}}}$=$\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}•k}}$＜$\frac{1}{\sqrt{（{k}^{2}-\frac{1}{4}）•k}}$=$\frac{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k+1}}{\sqrt{k}}$•（$\frac{1}{\sqrt{2k-1}}$-$\frac{1}{\sqrt{2k+1}}$）＜2$\sqrt{2}$•（$\frac{1}{\sqrt{2k-1}}$-$\frac{1}{\sqrt{2k+1}}$）．
∴1+$\frac{1}{2\sqrt{2}}$+$\frac{1}{3\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{n\sqrt{n}}$＜2$\sqrt{2}$•[（1-$\frac{1}{\sqrt{3}}$）+…+（$\frac{1}{\sqrt{2n-1}}$-$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$）]=2$\sqrt{2}$•（1-$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$）$＜2\sqrt{2}$＜3，
∴1+$\frac{1}{2\sqrt{2}}$+$\frac{1}{3\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{n\sqrt{n}}$＜3（n∈N^*）

点评 本题考查不等式的证明，考查放缩法的运用，正确放缩是关键．