Question

8．如图．已知△ABC，AM是中线，点P在边AB上，点Q在边AC上，PQ交AM于点N．
（1）求证：$\frac{PB}{PA}$+$\frac{QC}{QA}$=$\frac{2MN}{NA}$
（2）若$\frac{AP}{PB}$=m，$\frac{AQ}{QC}$=n，求$\frac{MN}{NA}$的值．

Answer 1

分析 （1）分别过点B，C做PQ的平行线，交AM的延长线于D，E，则△BDM≌△CEM，利用PQ∥BD得比例，即可证明结论；
（2）利用（1）的结论，即可求$\frac{MN}{NA}$的值．

解答 （1）证明：分别过点B，C做PQ的平行线，交AM的延长线于D，E，则△BDM≌△CEM，
∴DM=EM，
∵PQ∥BD，
∴$\frac{PB}{PA}=\frac{ND}{AN}$①
同理$\frac{QC}{QA}$=$\frac{NE}{AN}$②
①+②得$\frac{PB}{PA}$+$\frac{QC}{QA}$=$\frac{2MN}{NA}$，
（2）解：∵$\frac{AP}{PB}$=m，$\frac{AQ}{QC}$=n，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=$\frac{2MN}{NA}$，
∴$\frac{MN}{NA}$=$\frac{m+n}{2mn}$．

点评 本题考查比例线段，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．