Question

12．已知直线ax+by-6=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²-2x-4y=0截得的弦长为2$\sqrt{5}$，则ab的最大值为$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 由圆的方程得到圆的半径为$\sqrt{5}$，再由弦长为2$\sqrt{5}$得到直线过圆心，即得到a与b满足的关系式，再利用基本不等式即可得到结论．

解答 解：圆x²+y²-2x-4y=0可化为（x-1）²+（y-2）²=5，则圆心为（1，2），半径为$\sqrt{5}$，
又由直线ax+by-6=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²-2x-4y=0截得的弦长为2$\sqrt{5}$，
则直线ax+by-6=0（a＞0，b＞0）过圆心，即a+2b-6=0，亦即a+2b=6，a＞0，b＞0，
所以6=a+2b≥2$\sqrt{2ab}$，当且仅当a=2b时取等号，
所以ab≤$\frac{9}{2}$，所以ab的最大值为$\frac{9}{2}$，
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，基本不等式，其中根据已知条件，分析出圆心在已知直线上，进而得到a，b的关系式，是解答本题的关键．