在直角坐标系xOy中.圆C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+cost}\\{y=sint}\end{array}\right.$.圆C2与圆C1外切于原点O.且两圆圆心的距离|C1C2|=3.以坐标原点为极点.x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C1和圆C2的极坐标方程,(2)过点O的直线l1.l2与圆C2异于点O的交点分别为点A和� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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17．在直角坐标系xOy中，圆C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+cost}\\{y=sint}\end{array}\right.$（t为参数），圆C₂与圆C₁外切于原点O，且两圆圆心的距离|C₁C₂|=3，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C₁和圆C₂的极坐标方程；
（2）过点O的直线l₁、l₂与圆C₂异于点O的交点分别为点A和点D，与圆C₁异于点O的交点分别为C和B，且l₁⊥l₂，求四边形ABCD面积的最大值．

分析（1）求出两圆的普通方程，再化为极坐标方程；
（2）设出l₁，l₂的参数方程，分别代入两圆方程得出OA，OB，OC，OD的长，得到四边形的面积关于l₁的倾斜角α的函数解析式，利用α的范围和正弦函数的性质求出面积的最大值．

解答解：（1）圆C₁的普通方程为（x+1）²+y²=1，∴圆C₁的圆心为C₁（-1，0），半径r₁=1．
圆C₁的一般方程为：x²+y²+2x=0，
∴圆C₁的极坐标方程为ρ²+2ρcosθ=0，即ρ=-2cosθ．
∵圆C₂与圆C₁外切于原点O，且两圆圆心的距离|C₁C₂|=3，
∴圆C₂的圆心C₂（2，0），半径r₂=2．
∴圆C₂的标准方程为（x-2）²+y²=4，化为一般式方程为：x²+y²-4x=0，
∴圆C₂的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．
（2）设直线l₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数0$＜α＜\frac{π}{2}$），l₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-tsinα}\\{y=tcosα}\end{array}\right.$（t为参数），
把$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$代入x²+y²-4x=0得t²-4tcosα=0，∴|OA|=4cosα，
同理可得|OB|=2sinα，|OC|=2cosα，|OD|=4sinα，
∵AC⊥BD，
∴S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$（OA+OC）（OB+OD）=18sinαcosα=9sin2α．
∴当$α=\frac{π}{4}$时，四边形ABCD的面积取得最大值9．

点评本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，直线与圆的位置关系，属于中档题．

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A．

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B．

$\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$

C．

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D．

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