Question

2．求下列情况下的概率．
（1）在集合{-3，-2，-1，1，2，3}中随机取两个数，分别记为a，b，求使得方程x²+2ax-b²+π=0有实根的概率
（2）在区间[-π，π]内随机取两个数，分别记为a，b，求使得方程x²+2ax-b²+π=0有实根的概率．

Answer 1

分析 （1）由题意知本题是一个古典概型，分别确定基本事件的个数，即可求使得方程x²+2ax-b²+π=0有实根的概率；
（2）由题意知本题是一个几何概型，由a，b使得函数f（x）=x²+2ax-b²+π有零点，得到关于a、b的关系式，写出试验发生时包含的所有事件和满足条件的事件，做出对应的面积，求比值得到结果．

解答 解：（1）由题意知本题是一个古典概型．
∵方程x²+2ax-b²+π=0有实根，
∴△=4a²+4b²-4π≥0，
∴a²+b²≥π，
在集合{-3，-2，-1，1，2，3}中随机取两个数，有A₆²=30种方法，满足a²+b²≥π有29种方法，
∴使得方程x²+2ax-b²+π=0有实根的概率为$\frac{29}{30}$；
（2）由题意知本题是一个几何概型，
∵a，b使得函数f（x）=x²+2ax-b²+π有零点，
∴△≥0
∴a²+b²≥π
试验发生时包含的所有事件是Ω={（a，b）|-π≤a≤π，-π≤b≤π}
∴S=4π²，
而满足条件的事件是{（a，b）|a²+b²≥π}，
∴S=4π²-π²=3π²，
由几何概型公式得到P=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查概率的计算，考查古典概型、几何概型，考查学生的计算能力，正确区分两种概率类型是关键．