Question

12．在棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内随机取一点P，则点P到点O的距离大于2的概率为1-$\frac{π}{12}$．

Answer 1

分析 本题是几何概型问题，欲求点P与点O距离大于2的概率，先由与点O距离等于2的点的轨迹是一个半球面，求出其体积，再根据几何概型概率公式结合正方体的体积的方法易求解．再根据几何概型概率公式结合正方体的体积的方法易求解．再根据几何概型概率公式结合正方体的体积的方法易求解．

解答 解：本题是几何概型问题
与点O距离等于2的点的轨迹是一个半球面，
其体积为：V₁=$\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×π×{2}^{3}$=$\frac{16π}{3}$
“点P与点O距离大于1的概率”事件对应的区域体积为4³-$\frac{16π}{3}$，
则点P与点O距离大于1的概率是$\frac{{4}^{3}-\frac{16π}{3}}{{4}^{3}}$=1-$\frac{π}{12}$，
故答案为：1-$\frac{π}{12}$

点评 本小题主要考查几何概型、几何概型的应用、几何体和体积等基础知识，考查空间想象能力、化归与转化思想．属于中档题．