Question

4．已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=BB₁=$\sqrt{2}$，在四边形ABC₁D₁内随机取一点M，则满足∠AMB≥135°的概率为（　　）

• A． $\frac{π}{8}$
• B． $\frac{π-2}{8}$
• C． $\frac{2π-3\sqrt{3}}{12}$
• D． $\frac{2\sqrt{2}-2}{8}$

Answer 1

分析 由题意通过圆和三角形的知识确定满足条件的图形，分别找出满足条件的点集对应的图形面积，及图形的总面积，作比值即可．

解答 解：长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=BB₁=$\sqrt{2}$，
∴B₁C₁=2，
∴四边形ABC₁D₁为正方形，其面积为2×2=4，
以AB为底边，向正方形外作顶角为90°的等腰三角形，以等腰三角形的顶点O为圆心，OA为半径作圆，
根据圆周角相关定理，弧AB所对的圆周角为135°．即当M取圆O与ABC₁D₁的公共部分（弓形），∠AMB必大于135°
其中AB=2，OA=$\sqrt{2}$，
S_阴影=$\frac{1}{4}$π（$\sqrt{2}$）²-$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=$\frac{π}{2}$-1，
故所求的概率为$\frac{\frac{π}{2}-1}{4}$=$\frac{π-2}{8}$，
故选：B．

点评 本题考查几何概型的概率计算，关键是确定满足条件的区域，利用面积比值求解，属于中档题．