Question

7．定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知双曲线C₁：$\frac{{y}^{2}}{a}$-x²=1到直线l：y+$\sqrt{2}$=0的距离等于圆C₂：x²+y²-8x-10y+16=0到直线l：y+$\sqrt{2}$=0，则实数a=1．

Answer 1

分析 根据曲线C到直线l的距离的定义先气求出圆C₂到直线l：y+$\sqrt{2}$=0的距离，然后建立方程关系即可．

解答 解：圆的标准方程为（x-4）²+（y-5）²=25，
则圆心为（4，5），半径r=5，
则圆C₂：x²+y²-8x-10y+16=0到直线l：y+$\sqrt{2}$=0的距离d=$\sqrt{2}$，
双曲线C₁：$\frac{{y}^{2}}{a}$-x²=1到直线l：y+$\sqrt{2}$=0的距离即为顶点（0，-$\sqrt{a}$）到y=-$\sqrt{2}$的距离，
即-$\sqrt{2}$-（-$\sqrt{a}$）=$\sqrt{2}$，
即$\sqrt{a}$=2$\sqrt{2}$，
则a=8，
故答案为：8．

点评 本题主要考查双曲线的性质，根据曲线C到直线l的距离的定义建立方程关系是解决本题的关键．