Question

9．若曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$与直线ρcosθ+2ρsinθ=2交于A、B两点
①求曲线C与直线在平面直角坐标系中的方程；
②求|AB|的长．

Answer 1

分析 ①利用同角三角函数的关系消参数得出曲线C的普通方程，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出直线的直角坐标方程；
②把曲线的参数方程代入直线方程得出交点坐标对应的参数，从而求出交点坐标，计算出弦长．

解答 解：①曲线C的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，直线的直角坐标方程为：x+2y-2=0．
②把$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$代入x+2y-2=0得cosα+sinα=1，
∴sinα=0或cosα=0．即y=0或x=0．
∴A（2，0），B（0，1）．
∴|AB|=$\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$．

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的转化，弦长计算，属于基础题．