Question

5．设双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作x轴的垂线交两渐近线于点A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+u$\overrightarrow{OB}$（λ，μ∈R），λ²+u²=$\frac{5}{8}$，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{9}{8}$

Answer 1

分析 由方程可得渐近线，可得A，B，P的坐标，由已知向量式可得λ+μ=1，λ-μ=$\frac{b}{c}$，解之可得λμ的值，由λ²+u²=$\frac{5}{8}$，可得a，c的关系，由离心率的定义可得．

解答 解：双曲线的渐近线为：y=±$\frac{b}{a}$x，设焦点F（c，0），
则当x=c时，y═±$\frac{b}{a}$•c=±$\frac{bc}{a}$，
即A（c，$\frac{bc}{a}$），B（c，-$\frac{bc}{a}$），P（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
因为$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，
所以（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$）=（（λ+μ）c，（λ-μ）$\frac{bc}{a}$），
所以λ+μ=1，λ-μ=$\frac{b}{c}$，
解得：λ=$\frac{c+b}{2c}$，μ=$\frac{c-b}{2c}$，
∵λ²+u²=$\frac{5}{8}$，
∴（$\frac{c+b}{2c}$）²+（$\frac{c-b}{2c}$）²=$\frac{5}{8}$，
即$\frac{2{c}^{2}+2{b}^{2}}{4{c}^{2}}$=$\frac{5}{8}$，
即c²=4b²．
则c²=4（c²-a²），
则3c²=4a²．
$\sqrt{3}$c=2a，
则e=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
故选：A．

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据交点坐标，结合平面向量的数量积公式是解决本题的关键．