Question

【题目】在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，，，， ，为的中点.

（1）平面平面

（2）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由四边形为矩形，所以，再由勾股定理，得到，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而得到平面平面.

（2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量为，又由平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解，得到结论.

（1）证明：由题意知，四边形为矩形，所以，

又∵四边形为菱形，为中点，

所以，，，所以，所以，

又，所以平面，又平面，

所以平面平面

（2）假设线段上存在点，使二面角的大小为，在上取一点，

连接，.

由于四边形是菱形，且，是的中点，可得.

又四边形是矩形，平面平面，∴平面，

所以建立如图所示的空间直角坐标系

则，，，，

则，，设平面的法向量为，

则，∴，令，则，

又平面的法向量，

所以，解得，

所以在线段上存在点，使二面角的大小为，此时.