Question

13．已知数列{a_n}（n∈N^*）是公差不为0的等差数列，若a₁=1，且a₂，a₄，a₈成等比数列．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）a₂，a₄，a₈成等比数列，可得${（{a_4}）^2}={a_2}•{a_8}$．再利用等差数列的通项公式即可得出．
（Ⅱ）b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用“裂项求和方法”即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，
因为a₂，a₄，a₈成等比数列，所以${（{a_4}）^2}={a_2}•{a_8}$．
即${（{a_1}+3d）^2}=（{a_1}+d）•（{a_1}+7d）$，即d²=a₁d．
又a₁=1，且d≠0，解得d=1．
所以有a_n=a₁+（n-1）d=1=（n-1）=n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：${b_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
则${S_n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
即${S_n}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．