Question

将模为

2

的向量

OA1

绕点O逆时针旋转

π

4

且模变为原来的

2

2

得到向量

OA2

，讲向量

OA2

绕点O逆时针旋转

π

4

且模变为原来的

2

2

得到向量

OA3

，…，仿此无限进行下去，记△OA₁A₂的面积为a₁，△OA₂A₃的面积为a₂，…，△OA_nA_n+1的面积为a_n，…
（1）求所有这些三角形的面积和；
（2）对于数列{a_n}，能否从中取出无限项组成一个新的等比数列{b_n}，使得数列{b_n}的各项和为数列{a_n}的各项和的

4

15

？若存在，求出数列{b_n}的通项公式；若不存在，写出理由．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：计算题,等差数列与等比数列,解三角形

分析：（1）运用三角形的面积公式，求出数列{a_n}的前几项，即可得到数列{a_n}为无穷递缩等比数列，则所有这些三角形的面积和为S=

a1

1-q

，代入数据即可得到；
（2）假设等比数列{b_n}的公比为t，则由数列{b_n}的各项和为数列{a_n}的各项和的

4

15

，即有

b1

1-t

=

4

15

，可取t=

1

16

，b₁=

1

4

，成立，求出数列{b_n}的通项即可判断．

解答： 解：（1）a₁=

1

2

|

OA1

|•|

OA2

|•sin

π

4

=

1

2

×

2

×1×

2

2

=

1

2

，
a₂=

1

2

|

OA2

|•|

OA3

|•sin

π

4

=

1

2

×1×

2

2

×

2

2

=

1

4

，
a₃=

1

2

|

OA3

|•|

OA4

|•sin

π

4

=

1

2

×

2

2

×

1

2

×

2

2

=

1

8

，
…
a_n=

1

2

|

OAn

|•|

OAn+1

|•sin

π

4

=

1

2

×

2

•(

2

2

)n-1•

2

•(

2

2

)n•

2

2

=(

1

2

)n．
由于数列{a_n}为无穷递缩等比数列，
则所有这些三角形的面积和为S=

a1

1-q

=

1 2

1- 1 2

=1；
（2）假设等比数列{b_n}的公比为t，
则由数列{b_n}的各项和为数列{a_n}的各项和的

4

15

，
即有

b1

1-t

=

4

15

，可取t=

1

16

，b₁=

1

4

，成立，
故存在数列{b_n}，且b_n=

1

4

•(

1

16

)n-1=（

1

4

）^2n-1，
使得数列{b_n}的各项和为数列{a_n}的各项和的

4

15

．

点评：本题等比数列的通项和求和公式，考查三角形的面积公式，向量的模的概念，考查无穷递缩等比数列的求和公式及运用，属于中档题．