Question

设直线l：x=ty+

p

2

与抛物线y²=2px（p＞0）交于不同两点A，B点，D为抛物线准线上一点，当△ABD为正三角形时，求D点坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：直线l：x=ty+

p

2

与抛物线C：y²=2px联立可得y²-2pty-p²=0，求出M，D的坐标，利用|DM|=

3

2

|AB|，求出点D的坐标．

解答： 解：设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），D（-

p

2

，m），则
直线l：x=ty+

p

2

与抛物线C：y²=2px联立可得y²-2pty-p²=0．
则y₁+y₂=2pt，y₁y₂=-p²，
从而x₁+x₂=2pt²+p，
所以线段AB的中点为M（pt²+

p

2

，pt），
由DM⊥AB得

pt-m

pt2+p

=-t，解得m=pt³+2pt，
从而D（-

p

2

，pt³+2pt），
|DM|=p（t²+1）

t2+1

，|AB|=|AF|+|BF|=2p（t²+1）
由|DM|=

3

2

|AB|得到p（t²+1）

t2+1

=

3

2

×2p（t²+1），
解得t=±

2

，
此时，点D（-

p

2

，±4

2

p）．

点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．