Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c满足条件；①y=f（x）的图象过点

1

，

1

，②当x=-1时，y=f（x）取得最小值是0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-k²x在

-1

，

1

上是单调函数，求k的取值范围；
（3）是否存在自然数m，使得关于x的不等式f（x-m）≤x在区间[1，

4

上有解？若存在，求出自然数m的取值集合，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数解析式的求解及常用方法,二次函数在闭区间上的最值

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由条件可列出方程组，解得即可；（2）化简g（x）的表达式，求出对称轴，考虑函数为增函数和减函数，列出不等式，解得即可；
（3）假设存在自然数m，使得关于x的不等式f（x-m）≤x在区间[1，

4

上有解，即有

1

4

（x-m+1）²≤x，即|x-m+1|≤2

x

，即有-2

x

-x≤1-m≤2

x

-x在区间[1，

4

上有解，分别求出两边的最小值和最大值即可得到m的范围，进而得到解集．

解答： 解：（1）二次函数f（x）=ax²+bx+c，由①②两个条件可得，

a+b+c=1 - b 2a =-1 a-b+c=0

解得，

a= 1 4 b= 1 2 c= 1 4

，则有f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

；
（2）g（x）=f（x）-k²x在

-1

，

1

上是单调函数，
即为g（x）=

1

4

x²+（

1

2

-k²）x+

1

4

在

-1

，

1

上是单调函数，
对称轴x=2k²-1，
若为单调增，则有2k²-1≤-1，解得，k=0，
若为单调减，则有2k²-1≥1，解得，k≥1或x≤-1，
则k的取值范围是（-∞，-1]∪[1，+∞）∪{0}；
（3）假设存在自然数m，使得关于x的不等式f（x-m）≤x在区间[1，

4

上有解，
即有

1

4

（x-m+1）²≤x，即|x-m+1|≤2

x

，
即有-2

x

-x≤1-m≤2

x

-x在区间[1，

4

上有解，
y=-2

x

-x=-（

x

+1）²+1在

x

=2即x=4时，取得最小且为-8，
y=2

x

-x=-（

x

-1）²+1在

x

=1即x=1时，取得最大且为1，
则有-8≤1-m≤1，解得，0≤m≤9．
故存在，且自然数m的取值集合是{0，1，2，3，4，…，9}．

点评：本题考查二次函数的解析式的求法，考查函数的单调性的判断和运用，考查函数的恒成立思想，注意运用参数分离，转化为求函数的最值，考查运算能力，属于中档题．