Question

19．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x-1）为偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=${x}^{\frac{1}{2}}$，若函数g（x）=f（x）-x-b有三个零点，则实数b的取值集合是（以下k∈Z）（　　）

• A． （2k-$\frac{1}{4}$，2k+$\frac{1}{4}$）
• B． （2k+$\frac{1}{2}$，2k+$\frac{5}{2}$）
• C． （4k-$\frac{1}{4}$，4k+$\frac{1}{4}$）
• D． （4k+$\frac{1}{2}$，4k+$\frac{9}{2}$）

Answer 1

分析 由题意，画出函数f（x）的图象，利用数形结合的方法找出f（x）与函数y=x+b有三个零点时b的求值．

解答 解：因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，
且f（x-1）为偶函数，
当x∈[0，1]时，f（x）=${x}^{\frac{1}{2}}$，
故当x∈[-1，0]时，f（x）=-${（-x）}^{\frac{1}{2}}$，
所以函数f（x）的图象如图．
g（x）=f（x）-x-b有三个零点，
即函数f（x）与函数y=x+b有三个交点，
当直线y=x+b与函数f（x）图象在（0，1）上相切时，
即 ${x}^{\frac{1}{2}}$=x+b有2个相等的实数根，
即 x²+bx-1=0有2个相等的实数根．
由△=0求得b=$\frac{1}{4}$，
数形结合可得g（x）=f（x）-x-b有三个零点时，实数b满足-$\frac{1}{4}$＜b＜$\frac{1}{4}$，
故此式要求的b的集合为（-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$）．
再根据函数f（x）的周期为4，可得要求的b的集合为（4k-$\frac{1}{4}$，4k+$\frac{1}{4}$），
故选：C．

点评 本题主要考查函数的奇偶性和周期性的应用，函数的零点和方程的根的关系，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题．