Question

已知A（2，0），B（0，2），C（cosθ，sinθ），O为坐标原点．
（1）

AC

•

BC

=-

1

3

，求sin2θ的值；
（2）若|

OA

+

OC

|=

7

，且θ∈（-π，0），求

OB

与

OC

的夹角．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）利用平面向量的数量积，结合三角函数的恒等公式，即可求出结果；
（2）利用平面向量的数量积表示出模长，结合三角函数的恒等式，平面向量的数量积，即可求出向量的夹角．

解答： 解：（1）∵

AC

=(cosθ，sinθ)-(2，0)=(cosθ-2，sinθ)，

BC

=(cosθ，sinθ)-(0，2)=(cosθ，sinθ-2)，
∴

AC

•

BC

=cosθ(cosθ-2)+sinθ(sinθ-2)=1-2(sinθ+cosθ)=-

1

3

，…（3分）
∴sinθ+cosθ=

2

3

，
∴两边平方，整理得，
sin2θ=-

5

9

；…（5分）
（2）∵

OA

=(2，0)，

OC

(cosθ，sinθ)，
∴

OA

+

OC

=(2+cosθ，sinθ)，
∴|

OA

+

OC

|=

(2+cosθ)2+sin2θ

=

7

，
即4+4cosθ+cos²θ+sin²θ=7，
∴cosθ=

1

2

；
又θ∈（-π，0），∴θ=-

π

3

；…（7分）
又

OB

=(0，2)，

OC

=(

1

2

，-

3

2

)，
∴cos＜

OB

，

OC

＞=

OB • OC

| OB |×| OC |

=

0- 3

2×1

=-

3

2

，
∴

OB

与

OC

的夹角＜

OB

，

OC

＞=

5π

6

．…（10分）

点评：本题考查了平面向量的数量积的应用问题，也考查了三角函数的恒等式的应用问题，是综合性的运算题目．