Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=AD=AB=2BC，M是PC的中点．
（1）求证：PB⊥DM；
（2）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值；
（3）试探究线段PB上是否存在一点Q，使得AQ∥面PCD？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,空间中直线与直线之间的位置关系,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）令BC=1，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系．利用向量法能证明PB⊥DM．
（2）求出平面PCD的法向量和平面PAB的法向量，由此能求出二面角的余弦值．
（3）假设线段PB上存在一点Q，有

PQ

=λ

PB

，（0≤λ≤1），

AQ

=

AP

+λ

PB

=（2λ，0，-2λ+2）．若AQ平行平面PCD，推导出λ=2，这与0≤λ≤1矛盾．从而不存在这样的点Q，使得AQ∥平面PCD．

解答： （1）证明：不妨令BC=1，以A为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系．
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），
D（0，2，0），P（0，0，2）
所以M（1，

1

2

，1），

DM

=（1，-

3

2

，1），

PB

=(2，0，-2)．
因为

PB

•

DM

=2-0-2=0，所以PB⊥DM．…（4分）
（2）解：设平面PCD的法向量为

n1

=（x，y，z），
由

n1 • PC =2x+y-2z=0 n1 • PD =2y-2z=0

．由z=1，得

n1

=（

1

2

，1，1）．…（6分）
而平面PAB的法向量为

n2

=

BC

=（0，1，0），
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

1

1× 2+ 1 4

=

2

3

．
∴所求二面角的余弦值为

2

3

．…（8分）
（3）解：假设线段PB上存在一点Q，有

PQ

=λ

PB

，（0≤λ≤1），

AQ

=

AP

+λ

PB

=（2λ，0，-2λ+2）．…（10分）
若AQ平行平面PCD，则

AQ

•

n1

=0，
即2λ•

1

2

+1•(-2λ+2)=0．
所以λ=2，这与0≤λ≤1矛盾．
故不存在这样的点Q，使得AQ∥平面PCD．…（13分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点的是否存在的判断与求法，解题时要注意向量法的合理运用．