Question

已知函数f（x）=ax³+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时f（x）取得极值-2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调区间和极大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数奇偶性的判断,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由f（-x）=-f（x）可得d=0，得f（x）=ax³+cx，求出f'（x），得方程组，解出即可；
（2）由f（x）=x³-3x得f'（x）=3x²-3，令f'（x）=0得x₁=-1，x₂=1，从而求出单调区间，进而求出极值．

解答： 解：（1）∵f（x）为奇函数，
∴由f（-x）=-f（x）可得d=0，
∴f（x）=ax³+cx…（2分）f'（x）=3ax²+c，
当x=1时f（x）取得极值-2，
则

f′(1)=3a+c=0 f(1)=a+c=-2

，
解方程组得

a=1 c=-3

，
故所求解析式为f（x）=x³-3x．
（2）由f（x）=x³-3x得f'（x）=3x²-3，
令f'（x）=0得x₁=-1，x₂=1，
即增区间为（-∞，-1），（1，+∞），减区间（-1，1）；
当x=-1时，函数有极大值2．

点评：本题考查了函数的单调性，导数的应用，函数的极值问题，是的基础题．