Question

已知函数f（x）=2^x，g（x）=-x²+2x+b，（b∈R），h（x）=f（x）-

1

f(x)

．
（1）判断h（x）的奇偶性并证明．
（2）对任意x∈[1，2]，都存在x₁，x₂∈[1，2]，使得f（x）≤f（x₁），g（x）≤g（x₂），若f（x₁）=g（x₂），求实数b的值．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用函数的奇偶性的定义判断证明即可．．
（2）利用对任意x∈[1，2]，都存在x₁，x₂∈[1，2]，使得f（x）≤f（x₁），说明f（x₁）是最大值，g（x）≤g（x₂），通过f（x₁）=g（x₂），即可求实数b的值．

解答： 解：（1）函数h（x）=2^x-

1

2x

为奇函数，现证明如下：
∵h（x）定义域为R，关于原点对称，又h（-x）=2^-x-

1

2-x

=

1

2x

-2^x=-h（x），
∴h（x）=2^x-

1

2x

为奇函数．
（2）由题意知f（x₁）=f（x）_max，
由f（x）=2^x在[1，2]上递增
∴f（x₁）=4，又∵g（x₂）=g（x）_max且g（x）=-x²+2x+b在[1，2]递增，
g（x₂）=g（1）=1+b，
∴f（x₁）=g（x₂），
∴1+b=4，∴b=3．

点评：本题考查函数的奇偶性以及函数最值的应用，函数的单调性与奇偶性的综合应用，考查计算能力．