Question

如图，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=2，AB=BC=1，PA=PD=

2

，M为AD的中点，且二面角P-AD-C的大小为60°．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面PMC；
（Ⅱ）求直线BM与平面PAD的正弦值
．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）利用线面垂直的判定，PM⊥AD，又因为PM∩CM=M，所以AD⊥面PMC；
（Ⅱ）BM与面PAD所成角等于BC与面PAD所成角，即∠HDC就是所求角，后在三角形中计算．

解答： （本小题满分14分）
（I）证明：因为AM∥BC，AM=

1

2

AD=BC=1，
所以四边形AMCB是平行四边形．所以AB∥CM．
又因为AB⊥AD，所以AD⊥CM．
又因为PA=PD，M是AD的中点，
所以PM⊥AD，
又因为PM∩CM=M，所以AD⊥面PMC．…（7分）
（II）解：取PM的中点H，连接CH，DH．
由（I）得∠PMC是二面角P-AD-C的平面角，即∠PMC=60°．
又因为PM=CM=1，所以△PCM为等边三角形．所以CH⊥PM．
又因为AD面PMC，AD?面PAD，所以面PAD⊥面PMC．
又因为面PAD∩面PMC=PM，所以CH⊥面PAD．
因为MD∥BC，所以四边形MDCB是平行四边形．
所以BM与面PAD所成角等于BC与面PAD所成角，
即∠HDC就是所求角．…（10分）
在△CHD中，CH⊥HD，CH=

3

2

，BC=

2

，
所以sin∠HDC=

6

4

．…（14分）
其它解法酌情给分．

点评：本题考查了线面垂直，线面角，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．