Question

已知抛物线 C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，且抛物线C在A，B两点处的切线相交于点M．
（Ⅰ）若△MAB面积的最小值为4，求p的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若△MAB的三边长成等差数列，求此时点M到直线AB的距离．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l：y=kx+

p

2

，则将直线l的方程代入抛物线C的方程得x²-2pkx-p²=0，由导数的几何意义得直线MA的方程为y=

x1

p

x-

x12

2p

，直线MB的方程为

x2

p

x-

x22

2p

，联立直线MA，MB的方程结合韦达定理得M得M（pk，-

p

2

），由点M到直线l：y=kx+

p

2

的距离和△MAB的面积的最小值为4，能求出p=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知k_MA•k_MB=

x1x2

p2

=-1，得|MA|²+|MB|²=|AB|²，由△MAB的三边长成等差数列，得|MA|+|AB|=2|MB|，从而|MA|：|MB|：|AB|=3：4：5，由此能求出M到直线AB的距离．

解答： 解：（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l：y=kx+

p

2

，
则将直线l的方程代入抛物线C的方程得x²-2pkx-p²=0，
则x1+x2=2pk，x1x2=-p2，（*）
∴|AB|=|AF|+|BF|=y1+

p

2

+y2+

p

2

=kx₁+p+kx₂+p=2p（k²+1），
∵直线MA为抛物线在A点处的切线，∴kMA=y′|x=x1=

x1

p

，
∴直线MA的方程为y=

x1

p

x-

x12

2p

，
同理，直线MB的方程为

x2

p

x-

x22

2p

，
联立直线MA，MB的方程得M（

x1+x2

2

，

x1x2

2p

），
又由（*）式得M（pk，-

p

2

），
则点M到直线l：y=kx+

p

2

的距离d=p

k2+1

，
∴S_△MAB=

1

2

|AB|d=p2(k2+1)

3

2

≥p²，
由△MAB的面积的最小值为4，得p²=4，故p=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知k_MA•k_MB=

x1x2

p2

=-1，∴MA⊥MB，
∴△MAB为直角三角形，
∴|MA|²+|MB|²=|AB|²，①
由△MAB的三边长成等差数列，设|MA|＜|MB|，
得|MA|+|AB|=2|MB|，②
联立①②，得：|MA|：|MB|：|AB|=3：4：5，
由S△MAB=

1

2

|MA||MB|=

1

2

|AB|d，得

d

|AB|

=

12

25

，
又|AB|=2p（k²+1）=4（k²+1），d=p

k2+1

=2

k2+1

，
∴

d

|AB|

=

1

2 k2+1

=

12

25

，∴

k2+1

=

25

24

，
∴此时M到直线AB的距离d=2

k2+1

=

25

12

．

点评：本题考查三角形面积的最小值为4时p的值的求法，考查点到直线的距离的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．