Question

已知梯形ABCD中AD∥BC，∠ABC=∠BAD=

π

2

，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=x．沿EF将梯形AEFD翻折，
使平面AEFD⊥平面EBCF（如图）．G是BC的中点．
（1）当x=2时，求证：BD⊥EG；
（2）当x变化时，求三棱锥D-BCF体积的最大值．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）利用面面垂直的性质证线面垂直，由线面垂直⇒线线垂直，再由线线垂直证线面垂直，由线面垂直的性质证得线线垂直；
（2）根据题意先求得棱锥的高，再根据体积公式求三棱锥的体积即可，从而可求三棱锥D-BCF体积的最大值．

解答： （1）证明：作DH⊥EF，垂足H，连结BH，GH，
∵平面AEFD⊥平面EBCF，交线EF，DH?平面AEFD，
∴DH⊥平面EBCF，又EG?平面EBCF，故EG⊥DH． 
∵EH=AD=

1

2

BC=BG，EF∥BC，∠ABC=90°．
∴四边形BGHE为正方形，∴EG⊥BH．               
又BH、DH?平面DBH，且BH∩DH=H，故EG⊥平面DBH．
又BD?平面DBH，∴EG⊥BD．                    
（2）解：∵AE⊥EF，平面AEFD⊥平面EBCF，交线EF，AE?平面AEFD．
∴AE⊥面EBCF．又由（1）DH⊥平面EBCF，故AE∥GH，
∴四边形AEHD是矩形，DH=AE，故以F、B、C、D为顶点的三
棱锥D-BCF的高DH=AE=x．                      
又S_△BCF=

1

2

BC•BE=8-2x，（0＜x＜4）．           
∴三棱锥D-BCF的体积f（x）=

1

3

S△BFC•AE=

1

3

（8-2x）x=-

2

3

x2+

8

3

x，（0＜x＜4）．           
∴x=2时，最大值为

8

3

．

点评：本题考查线面垂直的性质及棱锥的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．