Question

省少年篮球队要从甲、乙两所体校选拔队员．现将这两所体校共20名学生的身高绘制成如下茎叶图（单位：cm）：若身高在180cm以上（包括180cm）定义为“高个子”，身高在180cm以下（不包括180cm）定义为“非高个子”．
（Ⅰ）用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，如果从这5人中随机选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（Ⅱ）若从所有“高个子”中随机选3名队员，用ξ表示乙校中选出的“高个子”人数，试求出ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由茎叶图知这20名学生中有“高个子”8人，“非高个子”12人，用分层抽样抽样的方法从中抽取5人，应从“高个子”中抽取2人，从“非高个子”中抽取3人，由此能求出从这5人中随机选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率．
（Ⅱ）依题意知，从乙校中选出“高个子”的人数ξ的所有可能值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）由茎叶图知这20名学生中有“高个子”8人，“非高个子”12人，
用分层抽样抽样的方法从中抽取5人，
应从“高个子”中抽取

5

20

×8=2人，从“非高个子”中抽取

5

20

×12=3人，
用A表示“到少有一名高个子被选中”，则

.

A

表示“没有一名高个子被选中”，
∴P（A）=1-P（

.

A

）=1-

C 2 3

C 2 5

=1-

3

10

=

7

10

．
（Ⅱ）依题意知，从乙校中选出“高个子”的人数ξ的所有可能值为0，1，2，3，
由超几何分布公式得：P(ξ=0)=

C 0 4 C 3 4

C 3 8

=

1

14

，P(ξ=1)=

C 1 4 C 2 4

C 3 8

=

3

7

，P(ξ=2)=

C 2 4 C 1 4

C 3 8

=

3

7

，P(ξ=3)=

C 3 4 C 0 4

C 3 8

=

1

14

，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	1 14	3 7	3 7	1 14

∴Eξ=0×

1

14

+1×

3

7

+2×

3

7

+3×

1

14

=

3

2

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意茎叶图的合理运用．