Question

已知函数f（x）=3x²+bx+1是偶函数，g（x）=5x+c是奇函数，正数数列{a_n}满足a₁=1，f（a_n+a_n+1）-g（a_n+1a_n+a_n²）=1．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若{a_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

分析：先根据函数f（x）=3x²+bx+1是偶函数，g（x）=5x+c是奇函数，判断b=0，c=0进而可得函数f（x）和g（x）的解析式，进而根据f（a_n+a_n+1）-g（a_na_n+1+a_n²）=1求得

an+1

an

=

2

3

进而判断出数列{a_n}是以1为首项，

2

3

为公比的等比数列，则数列的通项公式可得，进而根据等比数列的求和公式求得S_n．

解答：解：∵函数f（x）=3x²+bx+1是偶函数，g（x）=5x+c是奇函数，
∴b=0，c=0
∴f（x）=3x²+1 g（x）=5x
∵f（a_n+a_n+1）-g（a_na_n+1+a_n²）=1
∴整理得（3a_n+1-2a_n）（a_n+a_n）=0
∵正数数列
∴3a_n+1-2a_n=0，即

an+1

an

=

2

3

∴数列{a_n}是以1为首项，

2

3

为公比的等比数列
∴通项公式a_n=（

2

3

）^n-1
∴S_n=3[1-（

2

3

）ⁿ]

点评：本题主要考查了用数列的递推式求得数列的通项公式和求和问题．解题的关键是通过函数解析式找到a_n+1和a_n的关系．