Question

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，AB∥EF，∠EAB=90°，AB=2，AD=AE=EF=1，平面ABFE⊥平面ABCD．
（1）若点O为线段AC的中点，求证：OF∥平面ADE；
（2）求平面BCF与平面DCF所夹的角．

Answer 1

分析：（1）由已知中平面ABFE⊥平面ABCD，∠EAB=90°，根据面面垂直的性质，我们可得EA⊥平面ABCD，作FH∥EA交AB于H，连接OH，OH为三角形ABC的中位线，根据面面平行的判定定理，可得平面FHO∥平面EAD，再由面面平行的性质，即可得到OF∥平面ADE；
（2）分别以AD，AB，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标私系，分别求出平面BCF与平面DCF的法向量，代入向量夹角公式，即可求出平面BCF与平面DCF所夹的角．

解答：解：（1）证明：∵平面ABFE⊥平面ABCD，∠EAB=90°，EA⊥AB
又∵平面ABFE∩平面ABCD=AB
∴EA⊥平面ABCD
作FH∥EA交AB于H，
∵AB=2，EF=1，
∴H为AB的中点，
连接OH，OH为三角形ABC的中位线
OH∥BC∥AD且OH∩FH=H
∴平面FHO∥平面EAD，
又∵OH?平面FHO
∴OF∥平面ADE；
（2）∵平面ABFE⊥平面ABCD，EA⊥AB
∴EA⊥平面ABCD，
分别以AD，AB，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标私系，
则A（0，0，0），D（1，0，0），C（1，2，0），E（0，0，1），B（0，2，0），F（0，1，1）
∴

AF

=（0，1，1），

BC

=（1，0，0），

BF

=（0，-1，1）
∵

AF

•

BC

=0，

AF

•

BF

=0
∴AF⊥平面BCF
即

AF

=（0，1，1）为平面BCF的一个法向量
∵

DC

=（0，2，0），

DE

=（-1，0，1）
设

n

=（x，y，z）为平面CDF的一个法向量
则

n • DC =0 n • DE =0

，即

y=0 -x+z=0

令x=1，得Z=1
即

n

=（1，0，1）为平面DCF的一个法向量
∵cos＜

AF

，

n

＞=

1

2

∴平面BCF与平面DCF所夹的角为60°

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，其中 （1）的关键是证得平面FHO∥平面EAD，（2）的关键是建立空间坐标系，求出两个平面的法向量，将二面角问题转化为向量的夹角问题．