Question

5．已知数列{a_n}满足：a₁，a₂+1，a₃成等差数列，且对任意的正整数n，均有S_n=$\frac{1}{2}$a_n+1-2ⁿ+$\frac{3}{2}$成立，其中S_n是数列{a_n}的前n项和．则n≥2时，数列{a_n}的通项公式为a_n=3^n-1-2ⁿ．

Answer 1

分析 a₁，a₂+1，a₃成等差数列，可得a₁+a₃=2（a₂+1），由S_n=$\frac{1}{2}$a_n+1-2ⁿ+$\frac{3}{2}$成立，分别取n=1，2，可得：a₁=$\frac{1}{2}{a}_{2}$-2+$\frac{3}{2}$，a₁+a₂=$\frac{1}{2}{a}_{3}$-4+$\frac{3}{2}$，
联立解得a₁，a₂，a₃．再利用当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，及其等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a₁，a₂+1，a₃成等差数列，∴a₁+a₃=2（a₂+1），
由S_n=$\frac{1}{2}$a_n+1-2ⁿ+$\frac{3}{2}$成立，分别取n=1，2，可得：a₁=$\frac{1}{2}{a}_{2}$-2+$\frac{3}{2}$，a₁+a₂=$\frac{1}{2}{a}_{3}$-4+$\frac{3}{2}$，
联立解得a₁=-1，a₂=-1，a₃=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$a_n+1-2ⁿ+$\frac{3}{2}$-$（\frac{1}{2}{a}_{n}-{2}^{n-1}+\frac{3}{2}）$，化为：a_n+1=3a_n+2ⁿ，变形为：a_n+1+2ⁿ⁺¹=3$（{a}_{n}+{2}^{n}）$，
∴数列$\{{a}_{n}+{2}^{n}\}$是等比数列，首项为1，公比为3，
∴a_n+2ⁿ=3^n-1，∴a_n=3^n-1-2ⁿ，
于是n≥2时，a_n=3^n-1-2ⁿ．
故答案为：3^n-1-2ⁿ．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．