Question

14．已知A，B，C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a，b，c，若c²+b²+cb=a²
（1）求A；
（2）若a=2$\sqrt{3}$，b+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知可得c²+b²-a²=-bc，利用余弦定理可得cosA=-$\frac{1}{2}$，结合范围A∈（0，π），可求A的值．
（2）由（1）可知cosA=$\frac{（b+c）^{2}-2bc-{a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，从而可求bc的值，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）在△ABC中，∵c²+b²+cb=a²，∴c²+b²-a²=-bc，
∴由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{-bc}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{2π}{3}$…6分
（2）∵由（1）可知：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{（b+c）^{2}-2bc-{a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，
又∵a=2$\sqrt{3}$，b+c=4，
∴$\frac{16-2bc-12}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，解得：bc=4，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$…12分

点评 本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．