Question

已知函数g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的导函数为f（x），a+b+c=0，且f（0）f（1）＞0，设x₁，x₂是方程f（x）=0的两个根，则x₁²+x₂²的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：导数的运算,函数的零点

专题：导数的综合应用

分析：由求出函数的导数g′（x）=f（x）=3ax²+2bx+c，利用根与系数之间的关系得到x₁+x₂，x₁x₂的值，将|x₁-x₂|进行转化即可求出结论．

解答： 解：∵g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），
∴g′（x）=f（x）=3ax²+2bx+c，
∵x₁，x₂是方程f（x）=0的两个根，故x₁+x₂=-

2b

3a

，x₁x₂=

c

3a

，
∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=

4b2-6ac

9a2

，
又a+b+c=0，
∴c=-a-b代入上式，
得x₁²+x₂²=

4b2-6ac

9a2

=

4b2+6a2+6ab

9a2

=

4

9

[(

b

a

)2+

3

2

•

b

a

+

3

2

]=

4

9

（

b

a

+

3

4

）² +

5

12

，
又∵f（0）•f（1）＞0，
∴c（3a+2b+c）＞0
即-

a+2b

3

•

8a+4b

3

＞0，
∴（a+2b）（2a+b）＜0，
∵a≠0，两边同除以a²得：（

b

a

+2）（2•

b

a

+1）＜0；
∴-2＜

b

a

＜-

1

2

，
∴

5

12

≤

4

9

（

b

a

+

3

4

）² +

5

12

＜

10

9

∴x₁²+x₂²∈[

5

12

，

10

9

）．
故答案为：[

5

12

，

10

9

）．

点评：本题考查根与系数的关系，着重考查韦达定理的使用，难点在于对条件“f（0）•f（1）＞0”的挖掘，充分考查数学思维的深刻性与灵活性，属于难题．