Question

已知二面角α-l-β的大小为60°，A∈α，B∈β，AC⊥l于C，BD⊥l于D，AC=BD=4，CD=3，则AD与BC所成角的余弦值为

 

．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：由于

AC

=

AD

+

DB

+

BC

，利用数量积的性质可得：

AC

2=

AD

2+

DB

2+

BC

2+2

AD

•

DB

+2

AD

•

BC

+2

DB

•

BC

，把已知代入即可得出．

解答： 解：如图所示，过D在平面α内作DE⊥l，过A作AE∥l，DE∩AE=E，BE，AB．
则∠BDE是二面角α-l-β，其大小为60°，DE=AC=4，AE=CD=3．
∴△BDE是等边三角形．
由上面可知：l⊥平面BDE，AE∥l．
∴AE⊥平面BDE．
∴AE⊥BE．
∴AB=

BE2+AE2

=5．
∵

AB

=

AD

+

DC

+

CB

，
∴

AB

2=

AD

2+

DC

2+

CB

2+2

AD

•

DC

+2

AD

•

CB

+2

DC

•

CB

．
∵AD=

CD2+AC2

=5，同理可得BC=5．

AD

•

DC

=-

DA

•

DC

=-9，

DC

•

CB

=-

CD

•

CB

=-9．
∴5²=5²+3²+5²-2×9+2

AD

•

CB

-2×9，
∴

AD

•

CB

=1，
∴5×5cos＜

AD

，

CB

＞=

1

25

∴异面直线AD与BC所成角的余弦值为

1

25

．
故答案为：

1

25

．

点评：本题考查了向量的多边形法则、数量积的性质、异面直线所成的角等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．