Question

在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，且cosA=

4

5

，

sinB

sinA

=

b

2

，则△ABC的面积S的最大值为

 

．

Answer 1

考点：余弦定理,三角形的面积公式

专题：解三角形

分析：由正弦的可得：

sinB

sinA

=

b

a

，又

sinB

sinA

=

b

2

，可得a=2．由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，再利用基本不等式可得bc≤10．由cosA=

4

5

，利用平方关系可得sinA=

1-cos2A

．再利用S_△ABC=

1

2

bcsinA即可得出．

解答： 解：在△ABC中，由正弦的可得：

sinB

sinA

=

b

a

，∵

sinB

sinA

=

b

2

，∴

b

a

=

b

2

，解得a=2．
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴2²=b2+c2-

8

5

bc≥2bc-

8

5

bc=

2

5

bc，化为bc≤10．当且仅当b=c=

10

时取等号．
∵cosA=

4

5

，∴sinA=

1-cos2A

=

3

5

．
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

10

bc≤

3

10

×10=3，当且仅当b=c=

10

时取等号．
∴△ABC的面积S的最大值为3．
故答案为：3．

点评：本题考查了正弦定理和余弦定理、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．