Question

已知数列的前n项和为满足：．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）令，对任意，是否存在正整数m，使都成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）详见解析；（2）m的值为1，2，3．

试题分析：（1）首先由题设找到与间的关系，然后证明是一个常数.（2）首先求得
，由此得，用裂项法可求得和.由对任意都成立，得，即对任意都成立，所以 小于等于的最小值.
（1）当时，，解得， 1分
当时，由得，  2分
两式相减，得，即（）， 3分
则，故数列是以为首项，公比为3的等比数列． 4分
（2）由（1）知，
， 6分
所以， 7分
则，  8分
由对任意都成立，得， 10分
即对任意都成立，又，
所以m的值为1，2，3．                    .12分