Question

8．对于a∈[$\frac{1}{16}$，1），不等式x²＜log_ax恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 设f（x）=x²，g（x）=log_ax，作出两个函数的图象，根据对数函数的图象的性质进行求解即可．

解答 解：设f（x）=x²，g（x）=log_ax，
作出两个函数的图象，要使不等式x²＜log_ax恒成立，
则f（x）的图象在g（x）的下方，
由对数函数的图象可知，a越大，两函数的交点越靠右，
a越小，两函数的交点越靠左，
因此，当a=$\frac{1}{16}$时，不等式x²＜log_ax的解集区间最短，此时不等式在该区间上恒成立，
即x²＜log${\;}_{\frac{1}{16}}$x，
当x=$\frac{1}{2}$时，x²=log${\;}_{\frac{1}{16}}$x=$\frac{1}{4}$，
即不等式的解集为（0，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题主要考查函数恒成立问题，根据对数函数和一元二次函数的性质是解决本题的关键．利用数形结合是解决本题的关键．