Question

19．用待定系数法解方程：a³x⁴-2a²x²-x+a-1=0．

Answer 1

分析 由a³x⁴-2a²x²-x+a-1=0．因式分解为：（ax²-x-1）（a²x²+ax-a+1）=0，对a分类讨论：当a=0时，解出即可．当a≠0时，可得ax²-x-1=0，a²x²+ax-a+1=0，对a及其判别式分类讨论即可得出．

解答 解：由a³x⁴-2a²x²-x+a-1=0．
因式分解为：（ax²-x-1）（a²x²+ax-a+1）=0，
当a=0时，化为-x-1=0，解得x=-1．
当a≠0时，可得ax²-x-1=0，a²x²+ax-a+1=0，
①对于ax²-x-1=0，△=1+4a．
当△＜0时，即$a＜-\frac{1}{4}$时，方程无实数根；
当△=0时，即a=-$\frac{1}{4}$时，方程有两个相等实数根x₁=x₂=-2；
当△＞0时，即a＞-$\frac{1}{4}$且a≠0时，方程有两个不相等实数根：x=$\frac{1±\sqrt{1+4a}}{2a}$．
②对于a²x²+ax-a+1=0，△=a²-4a²（1-a）=a²（4a-3）．
当△＜0时，即a$＜\frac{3}{4}$且a≠0时，方程无实数根；
当△=0时，即a=$\frac{3}{4}$时，方程有两个相等实数根x₁=x₂=-$\frac{2}{3}$；
当△＞0时，即a＞$\frac{3}{4}$且a≠0时，方程有两个不相等实数根：x=$\frac{1±\sqrt{1+4a}}{2a}$．

点评 本题考查了一元二次方程的解法、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．