Question

13．设数列{a_n}是公差不为0的等差数列，它的前10项和S₁₀=110，且a₁，a₂，a₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可得（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），化简结合S₁₀=110由等差数列的求和公式，可解得a₁和d的值，可得通项公式；
（2）求得b_n，再由等比数列的求和公式，计算即可得到所求．

解答 解：（1）∵a₁，a₂，a₄成等比数列，∴a₂²=a₁a₄，
又∵{a_n}是等差数列，∴a₂=a₁+d，a₄=a₁+3d，
∴（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），即 a₁²+2a₁d+d²=a₁²+3a₁d，
化简可得a₁=d，
∵S₁₀=10a₁+$\frac{10×9}{2}$d=110，∴10a₁+45d=110．
又∵a₁=d，∴55d=110，∴d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n；
（2）b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$=4ⁿ，
前n项和T_n=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{4}{3}$（4ⁿ-1）．

点评 本题考查等比数列和等差数列的通项和求和公式的运用，得出等差数列的公差d是解决问题的关键，属中档题．