Question

18．设有双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1，过点P（x₀，1）的直线与双曲线交于点A，B，若点P不可能成为线段AB的中点，则x₀的取值范围为[-2，-$\sqrt{2}$]∪[$\sqrt{2}$，2]．

Answer 1

分析 假设P为中点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设过P的直线为x=my+x₀-m，代入双曲线方程，运用判别式大于0，两根之和，求得x₀的取值范围，取补集即可得到所求范围．

解答 解：假设P为中点，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
设过P的直线为x=my+x₀-m，
代入双曲线方程，可得
（m²-2）y²+2m（x₀-m）y+（x₀-m）²-2=0，
则判别式△=4m²（x₀-m）²-4（m²-2）[（x₀-m）²-2]＞0，
y₁+y₂=$\frac{2m（m-{x}_{0}）}{{m}^{2}-2}$=2，
化简可得mx₀=2，
即m=$\frac{2}{{x}_{0}}$，代入判别式，化简可得
x₀⁴-6x₀²+8＞0，
解得x₀²＞4或x₀²＜2，
由点P不可能成为线段AB的中点，
则2≤x₀²≤4，
解得-2≤x₀≤-$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$≤x₀≤2．
故答案为：[-2，-$\sqrt{2}$]∪[$\sqrt{2}$，2]．

点评 本题考查直线和双曲线的位置关系，考查中点坐标公式的运用，考查运算能力，属于中档题．