Question

对于函数y=lg|x-3|和y=sin

πx

2

（-4≤x≤10），下列说法正确的是

 

．
（1）函数y=lg|x-3|的图象关于直线x=-3对称；
（2）y=sin

πx

2

（-4≤x≤10）的图象关于直线x=3对称；
（3）两函数的图象一共有10个交点；
（4）两函数图象的所有交点的横坐标之和等于30；
（5）两函数图象的所有交点的横坐标之和等于24．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：作图题,函数的性质及应用

分析：在同一坐标系中画出函数y=lg|x-3|和y=sin

πx

2

（-4≤x≤10）的图象，据此对（1）、（2）、（3）、（4）、（5）5个选项逐一分析即可．

解答： 解：在同一坐标系中画出函数y=lg|x-3|和y=sin

πx

2

（-4≤x≤10）的图象如下图所示：

由图可知：
函数y=lg|x-3|的图象关于直线x=3对称，故（1）错误；
当x=3时，y=sin

πx

2

取最小值-1，即直线x=3为函数y=sin

πx

2

的一条对称轴，又由定义域关于x=3对称，故（2）正确；
两函数的图象一共有10个交点，故（3）正确；
由图知，两曲线的10个交点关于直线x=3对称，即这些交点的平均数为3，故所有交点的横坐标之和等于30，故（4）正确，（5）错误，
故正确的命题有：（2）（3）（4）．
故答案为：（2）（3）（4）．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查对数函数与正弦型函数的图象与性质，作图是关键，也是难点，属于难题．