Question

12．已知函数f（x）=x+$\frac{m}{x}$，且函数y=f（x）的图象经过点（1，2）．
（1）求m的值；
（2）判断函数的奇偶性并加以证明；
（3）证明：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）图象过点（1，2），代入解析式求出m的值；
（2）利用奇偶性的定义判断f（x）为定义域上的奇函数；
（3）利用单调性的定义可证明f（x）在（1，+∞）上为增函数．

解答 解：（1）由函数f（x）=x+$\frac{m}{x}$的图象过点（1，2），
得2=1+$\frac{m}{1}$，
解得m=1；…（3分）
（2）由（1）知，f（x）=x+$\frac{1}{x}$，
定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）具有对称性，
且f（-x）=-x+$\frac{1}{-x}$=-（x+$\frac{1}{x}$）=-f（x），
所以f（x）为奇函数；…（3分）
（3）证明：设1＜x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=$（{x_1}+\frac{1}{x_1}）-（{x_2}+\frac{1}{x_2}）$=$\frac{{（{x_1}-{x_2}）（{x_1}x{\;}_2-1）}}{{{x_1}{x_2}}}$，
∵x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＞0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函数y=f（x）在（1，+∞）上为增函数…（4分）

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性的定义与应用问题，是基础题目．