Question

2．已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a＜$\frac{2}{3}$b），在R上是单调递增函数，则$\frac{3a+2b+c}{2b-3a}$的最小值是（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 求出函数的导数，得到c≥$\frac{{b}^{2}}{3a}$，a＞0，根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可．

解答 解：f′（x）=3ax²+2bx+c，
若函数f（x）在R上是单调递增函数，
则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={4b}^{2}-12ac≤0}\end{array}\right.$，
解得：c≥$\frac{{b}^{2}}{3a}$，a＞0，
故$\frac{3a+2b+c}{2b-3a}$≥$\frac{3a+2b+\frac{{b}^{2}}{3a}}{2b-3a}$=$\frac{{（3a+b）}^{2}}{3a（2b-3a）}$≥$\frac{{（3a+b）}^{2}}{{（\frac{3a+2b-3a}{2}）}^{2}}$=$\frac{{（3a+b）}^{2}}{{b}^{2}}$，
当且仅当3a=2b-3a即b=3a时“=”成立，
此时$\frac{3a+2b+c}{2b-3a}$的最小值是$\frac{{（3a+b）}^{2}}{{b}^{2}}$=$\frac{{（3a+3a）}^{2}}{{（3a）}^{2}}$=4，
故选：B．

点评 本题考查了求函数的单调性问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题．