如图，四棱锥
中，底面是以
为中心的菱形，
底面
，
，
为
上一点，且
.
（1）求
的长；
（2）求二面角
的正弦值.
（1）
；（2）
.
解析试题分析：（1）连结
、
,因为是菱形
的中心，
,以为坐标原点，
的方向分别为
轴、
轴、
轴的正方向，建立空间直角坐标系，根据题设条件写出
的坐标，并设出点
的坐标
，根据空间两点间的距离公式和勾股定理列方程解出
的值得到的长；.
（2）设平面
的法向量为
，平面PMC的法向量为
，首先利用向量的数量积列方程求出向量
的坐标，再利用向量的夹角公式求出
，进而求出二面角的正弦值.
解：
（1）如图，连结
，因为菱形，则，且
，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系
，
因
，故
所以
由
知，
从而
，即
设
，则
因为
，
故
即
，所以
（舍去），即
.
（2）由（1）知，
,
设平面的法向量为，平面
的法向量为
由
得
故可取
由
得
故可取
从而法向量的夹角的余弦值为
故所求二面角
的正弦值为.
考点：1、空间直线与平面垂直的性质；2、空间直角坐标系；3、空间向量的数量积及其应用.
名师指导期末冲刺卷系列答案
开心蛙口算题卡系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，且AB=AD=PD=1，CD=2，E为PC的中点．
（1）求证：BE∥平面PAD；
（2）求二面角E-BD-C的余弦值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，在四棱锥E﹣ABCD中，矩形ABCD所在的平面与平面AEB垂直，且∠BAE=120°，AE=AB=4，AD=2，F，G，H分别为BE，AE，BC的中点
（1）求证：DE∥平面FGH；
（2）若点P在直线GF上，
=λ
，且二面角D﹣BP﹣A的大小为
，求λ的值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AD=DC=CB=a，
，平面
平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a.
（1）求证：
平面ACFE；
（2）求二面角B—EF—D的平面角的余弦值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB ≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA=
，连接CE并延长交AD于F.
（1）求证：AD⊥平面CFG；
（2）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点.
（1）求证：DA1⊥ED1；
（2）若直线DA1与平面CED1成角为45o，求
的值；
（3）写出点E到直线D1C距离的最大值及此时点E的位置（结论不要求证明）.
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平面
，四边形
为矩形，
．
为
的中点，
．
；
时，求二面角
的余弦值．
的所有棱长都相等,
,四边形
和四边形
为矩形.
底面
;
,求二面角
的余弦值.