Question

9．若椭圆的两准线之间的距离不大于长轴长的3倍，则它的离心率e的范围是[$\frac{1}{3}$，1）．

Answer 1

分析 假设假设焦点在x轴上，$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），由题意可知：2×$\frac{{a}^{2}}{c}$≤3×2a，由e=$\frac{c}{a}$≥$\frac{1}{3}$，由0＜e＜1，即可求得离心率e的范围．

解答 解：假设焦点在x轴上，设椭圆方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由题意可知：两准线之间的距离d=2×$\frac{{a}^{2}}{c}$，长轴长2a，
∴2×$\frac{{a}^{2}}{c}$≤3×2a，整理得：a≤3c，即$\frac{c}{a}$≥$\frac{1}{3}$
由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$≥$\frac{1}{3}$，
由0＜e＜1，
∴离心率e的范围[$\frac{1}{3}$，1），
同理焦点在y上成立，
故答案为：[$\frac{1}{3}$，1）．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单性质，考查椭圆的第二定义，考查离心率的取值范围，属于基础题．