Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，点P（a，a）（a＞0）在抛物线上，且|PF|=

5

4

．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线y=kx+b与抛物线交于A，B两点．
 ①当k=1，b=-4时，求证：点H（2，0）为△PAB的垂心；
 ②若△PAB的垂心为点H（m，0）（m＞1），试求b的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用点P（a，a）（a＞0）在抛物线上，且|PF|=

5

4

，建立方程，求出p，即可求抛物线C的方程；
（2）①y=x-4代入y²=x，利用韦达定理，计算AB，PH的斜率，证明k_AB•k_PH=-1即可；
②y=kx+b代入y²=x，计算AB，PH的斜率，利用k_AB•k_PH=-1，即可求b的取值范围．

解答： （1）解：∵点P（a，a）（a＞0）在抛物线上，且|PF|=

5

4

，
∴a²=2pa，a+

p

2

=

5

4

，∴p=

1

2

，
∴抛物线C的方程是y²=x；
（2）①证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
y=x-4代入y²=x，可得x²-9x+16=0，
∴x₁+x₂=9，∴y₁+y₂=1
∴k_AB=

y2-y1

x2-x1

=

1

y1+y2

=1，
∵P（1，1），H（2，0），
∴k_PH=

1-0

1-2

=-1，∴k_AB•k_PH=-1；
②解：y=kx+b代入y²=x，可得k²x²+2kbx+b²=0，
∴x₁+x₂=-

2b

k

，∴y₁+y₂=-b
∴k_AB=

y2-y1

x2-x1

=

1

y1+y2

=-

1

b

，
∵P（1，1），H（m，0），∴k_PH=

1

1-m

，
∵k_AB•k_PH=-1，∴（-

1

b

）•

1

1-m

=-1，
∴b=

1

1-m

∵m＞1，∴b＜0．

点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．