Question

4．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=（n+2）a_n-1（n∈N^*）．
（1）求a₁的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设T_n=$\frac{1}{{{a_1}{a_3}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_4}}}+\frac{1}{{{a_3}{a_5}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+2}}}}$，求证：T_n＜$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 （1）令n=1，能求出a₁．
（2）由2S_n=（n+2）a_n-1，得2S_n+1=（n+3）a_n+1-1，从而得到$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{n+2}{n+1}$，利用利用叠乘法得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{n+1}{2}$，由此能求出数列的通项公式．
（3）推导出$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}=\frac{4}{（n+1）（n+3）}$=2（$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}$），由此利用裂项求和法能证明T_n＜$\frac{5}{3}$．

解答 解：（1）数列{a_n}的前n项和为S_n，且2S_n=（n+2）a_n-1（n∈N^*）．
令n=1时，2S₁=3a₁-1，解得：a₁=1
（2）由于：2S_n=（n+2）a_n-1①
所以：2S_n+1=（n+3）a_n+1-1②
②-①得：2a_n+1=（n+3）a_n+1-（n+2）a_n，
整理得：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{n+2}{n+1}$，则$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n+1}{n}$，即${a}_{n}=\frac{n+1}{n}{a}_{n-1}$．
∵$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n+1}{n}$，
∴$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}=\frac{n}{n-1}$，…，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{3}{2}$，
利用叠乘法把上面的（n-1）个式子相乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{n+1}{2}$，
∴${a}_{n}=\frac{n+1}{2}$，当n=1时，a₁=1符合上式，
∴数列的通项公式是${a}_{n}=\frac{n+1}{2}$．
证明：（3）∵${a}_{n}=\frac{n+1}{2}$，∴${a}_{n+2}=\frac{n+3}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+2}}=\frac{4}{（n+1）（n+3）}$=2（$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}$），
∴T_n=$\frac{1}{{{a_1}{a_3}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_4}}}+\frac{1}{{{a_3}{a_5}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+2}}}}$
=2（$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+$…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}$）
=2（$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}$）＜2（$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$）=$\frac{5}{3}$．
故T_n＜$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查数列的首项的求法，考查数列的通项公式的求法，考查数列不等式的证明，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．