Question

12．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n+n（n∈N^*）．
（1）求证数列{a_n-1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=log₂（-a_n+1），求数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+2}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过S_n=2a_n+n（n∈N⁺）与S_n-1=2a_n-1+n-1（n≥2）作差、变形可知a_n-1=2（a_n-1-1），进而计算即得结论．
（2）由b_n=log₂（-a_n+1）=log₂2ⁿ=n．得$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，累加即可求解．

解答 解：（1）∵S_n=2a_n+n（n∈N⁺）
∴S_n-1=2a_n-1+n-1（n≥2）
两式相减得：a_n=2a_n-1-1，
变形可得：a_n-1=2（a_n-1-1），
又∵a₁=2a₁+1，即a₁-1=-1-2=-2，
∴数列{a_n-1}是首项为-2、公比为2的等比数列，
∴数列a_n-1=-2•2^n-1=-2ⁿ，a_n=-2ⁿ+1，
（2）∵b_n=log₂（-a_n+1）=log₂2ⁿ=n．
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+2）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$
∴T_n=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查了数列的递推式，等比数列的通项，考查了裂项求和，属于中档题．