Question

17．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，n∈N^*，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由等差数列的前n项和公式、通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）推导出${b}_{n}=\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，由此利用错位相减法能求出{b_n}的前n项和．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．
∴$\left\{\begin{array}{l}{4{a}_{1}+6d=8{a}_{1}+4d}\\{{a}_{1}+（2n-1）d=2{a}_{1}+2（n-1）d+1}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．n∈N^*．
（2）由已知得$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，n∈N^*，a_n=2n-1．n∈N^*．
∴${b}_{n}=\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，n∈N^*，
∴{b_n}的前n项和：
T_n=$\frac{1}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}+\frac{5}{{2}^{3}}+…+\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，①
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+\frac{5}{{2}^{4}}+…+\frac{2n-3}{{2}^{n}}+\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，②
①-②，得：$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+（\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{2}{{2}^{3}}+…+\frac{2}{{2}^{n}}）-\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{1}{2}+2×\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{3}{2}-\frac{1}{{2}^{n-1}}-\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴${T}_{n}=3-\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．