Question

2．已知数列{a_n}是首项为1的正项数列，且a${\;}_{n+1}^{2}$+3a_n+1-2a${\;}_{n}^{2}$+3a_n-a_na_n+1=0，求数列的通项公式a_n．

Answer 1

分析 a${\;}_{n+1}^{2}$+3a_n+1-2a${\;}_{n}^{2}$+3a_n-a_na_n+1=0，因式分解为：（a_n+1-2a_n+3）（a_n+1+a_n）=0，由a_n+1+a_n＞0，可得a_n+1-2a_n+3=0，变形即可证明．

解答 解：∵a${\;}_{n+1}^{2}$+3a_n+1-2a${\;}_{n}^{2}$+3a_n-a_na_n+1=0，
∴（a_n+1-2a_n）（a_n+1+a_n）+3（a_n+1+a_n）=0，
化为：（a_n+1-2a_n+3）（a_n+1+a_n）=0，∵a_n+1+a_n＞0，
∴a_n+1-2a_n+3=0，
化为：a_n+1+3=2（a_n+3），a₁+3=4．
∴数列{a_n-3}是等比数列，首项为4，公比为2．
∴a_n+3=4×2^n-1，
可得a_n=2ⁿ⁺¹-3．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．