Question

已知实数x，y满足x²+y²=3（y≥0），试求m=

y+1

x+3

及b=2x+y的取值范围．

Answer 1

分析：设B（x，y）为半圆x²+y²=3（y≥0）上一点，A（-3，-1）．由直线的斜率公式得m=

y+1

x+3

是直线AB的斜率，因此作出图形并加以观察，根据直线与圆的位置关系建立关系式求出m的最大、最小值，即得m的取值范围．再根据圆的参数方程，设x=

3

cosθ可得y=

3

sinθ（0≤θ≤π），利用辅助角公式得到b=2x+y=

15

sin（θ+β）（β是满足sinβ=

2 5

5

的锐角），结合三角函数的图象与性质可求出b=2x+y的取值范围．

解答：解：根据题意，可得
设A的坐标为（-3，-1），B（x，y）为半圆x²+y²=3（y≥0）上一点，
∵m=

y+1

x+3

，∴m可看作直线AB的斜率，
作出图形，当直线AB与半圆相切时，m达到最大值；
当B点坐标为（

3

，0）时m达到最小值
设直线AB：y+1=m（x+3），即mx-y+3m-1=0
由

|3m-1|

m2+1

=

3

，解之得m=

3+ 21

6

（

3- 21

6

不合题意舍去）
当B点坐标为（

3

，0）时，m=

0+1

3 +3

=

3- 3

6

∴m=

y+1

x+3

的取值范围为[

3- 3

6

，

3+ 21

6

]；
设x=

3

cosθ，则y=

3

sinθ（0≤θ≤π）
∴b=2x+y=2

3

cosθ+

3

sinθ=

15

sin（θ+β），其中β是满足sinβ=

2 5

5

的锐角
∵0≤θ≤π，∴当θ=

π

2

-β时，b的最大值为

15

；当θ=π时，b的最小值为-2

3

因此可得b=2x+y的取值范围为[-2

3

，

15

]．
综上所述，m=

y+1

x+3

及b=2x+y的取值范围分别为[

3- 3

6

，

3+ 21

6

]和[-2

3

，

15

]．

点评：本题着重考查了直线的斜率、圆的方程、直线与圆的位置关系、三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．