Question

19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$csinA=\sqrt{3}acosC$，则C=$\frac{π}{3}$；若$c=\sqrt{31}$，△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，则a+b=7．

Answer 1

分析 由正弦定理可得$sinCsinA=\sqrt{3}sinAcosC$，从而得到$tanC=\sqrt{3}，C=\frac{π}{3}$，由$\frac{1}{2}absinC=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，得ab=6，由此利用余弦定理能求出a+b．

解答 解：∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$csinA=\sqrt{3}acosC$，
∴由正弦定理可得$sinCsinA=\sqrt{3}sinAcosC$，
解得$tanC=\sqrt{3}，C=\frac{π}{3}$，
∴$\frac{1}{2}absinC=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，解得ab=6，
∵$c=\sqrt{31}$，cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
∴$\frac{1}{2}=\frac{{a}^{2}+\frac{36}{{a}^{2}}-31}{2×6}$，解得a=1，b=6或a=6，b=1，
∴a+b=7．
故答案为：$\frac{π}{3}$，7．

点评 本题考查三角形的角及边长的求法，涉及到正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．