Question

16．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AB=PA=aBC（a＞0）．
（1）当a=1时，求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）试问BC边上是否存在唯一的点Q，使得PQ⊥QD．若存在，求此时a的值及二面角A-PD-Q的余弦值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由线面垂直得AC⊥PD，由正方形性质得AC⊥BD，由此能证明平面PAC⊥平面PBD．
（2）由已知中PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，我们易得PQ⊥QD?AQ⊥QD，由此我们易得以AD为半径的圆与BC应该有交点，即可得到满足条件的实数a的值范；取AD的中点M，过M作MN⊥PD，垂足为N，连接QM，QN，根据三垂线定理，我们易判断出∠QNM为二面角Q-PD-A的平面角，解三角形QMN，即可得到二面角Q-PD-A的余弦值大小．

解答 （1）证明：∵PD⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，
∴AC⊥PD，
又∵底面ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，而PD与BD交于点D，
∴AC⊥平面PBD，…（4分）
又AC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD；
（2）解：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥QD，若PQ⊥QD成立，即AQ⊥QD成立，
∴点Q应为BC与以AD为直径的圆的公共点，
∴当a=$\frac{1}{2}$时，BC上有且仅有一点满足题意，此时Q点为BC的中点，
取AD的中点M，过M作MN⊥PD，垂足为N，连接QM，QN，
由于QN⊥平面PAD，
∴∠QNM为二面角Q-PD-A的平面角，
设AB=1，则MD=1，PD=$\sqrt{5}$，且△DNM∽△DAP，
∴MN=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
从而在直角△QNM中，QN=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$，
∴cos∠QNM=$\frac{MN}{QN}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角大小的求法，（2）的关键是求出二面角Q-PD-A的平面角．